Enseigner la numération décimale

Une ressource pour les enseignants de cycle 3

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Partant d'un constat de difficultés chez les élèves à prendre en compte un aspect essentiel de notre système de numération écrit, l'aspect décimal, ainsi que d'un manque de propositions à ce sujet dans les manuels courants (en savoir plus), nous proposons un scénario global permettant de travailler les principes de notre numération écrite (position et décimalité) ainsi que des activités pour le mettre en œuvre dans la classe.

Un scénario global
1. Dénombrer une collection 2. Commander une collection
Plusieurs cas à envisager :

Une collection « en vrac » (avec des objets matériels) : « Combien y a-t-il de bûchettes dans cette collection qui est devant nous ? »

Une collection totalement groupée (les unités de numération désignant des groupements d’objets) : « Combien y a-t-il de cubes dans une collection de 3 milliers de cubes, 5 centaines de cubes et 2 cubes seuls ? ».

Une collection partiellement groupée : « Quel est le montant en euros d’une somme de 3 milliers d’euros, 12 billets de 100 euros et 4 billets de 10 euros ? »

Dénombrements et conversions sans contexte : « 5 centaines + 4 milliers + 7 unités = ... ? » ou bien : « 2 milliers + 31 centaines + 7 unités = … ? » ou encore : « 4 milliers = … centaines ? ».
Plusieurs cas à envisager :

Commandes sans contrainte : « des bûchettes sont vendues par milliers, centaines, dizaines et unités. On souhaite en commander 2615. Que peut-on commander ? »

Commandes avec contraintes :
-  « le marchand n’a plus de bûchettes par milliers. On souhaite commander 3052 bûchettes. Que peut-on commander ? ».
-  « le marchand a des bûchettes par milliers mais il n’en a plus par centaines. Que peut-on commander ? »,  etc.
-  Autres contextes : « Combien faut-il de billets de 100 euros pour payer une somme de 2079 euros ? », etc.

Sans contexte : Trouver différentes décompositions de 3421 en utilisant les unités de numération (milliers, centaines, …).
Les savoirs de la numération
Principe de position : Les milliers s’écrivent au 4ème rang à partir de la droite, les centaines au 3ème rang, etc.

Principe décimal : 1 dizaine = 10 unités, 1 centaine = 10 dizaines = 100 unités, 1 millier = 10 centaines = 100 dizaines = 1000 unités
Des propositions pour la classe

Situation d’introduction ("combien de bûchettes ?") et synthèse associée CommentairesUne situation de dénombrement d’une collection matérielle. Cela permet de constituer un matériel de numération qui pourra être utilisé par la suite et de faire l’expérience des groupements par 10 à partir de la collection en vrac puis de se familiariser avec l’aspect position. Cependant pour ne pas ancrer chez les élèves cette unique conception positionnelle, nous proposons un important travail sur les conversions entre unités de numération (30 centaines = 3 milliers) dans les exercices et problèmes.

Situation d’introduction ("le jeu du marchand") et synthèse associée CommentairesUne situation de commandes avec ou sans contraintes qui amène à découvrir différentes décompositions d’un nombre et met en jeu les conversions entre unités de numération (3 milliers c’est 30 centaines et réciproquement). Dans les exercices et problèmes nous viserons une automatisation des changements d’écritures : 3421 = 3M+4C+2D+1U = 34C+21U = 342D+1U = 3M+41D+1U, etc.

Exercices et problèmes CommentairesCes exercices et problèmes permettent de traiter tous les cas envisagés ci-dessus : collections totalement groupées, partiellement groupées, conversions entre unités, etc., ainsi que différents contextes. Exercices et problèmes CommentairesCes exercices et problèmes permettent de faire des décompositions variées de nombres et de les utiliser dans différents contextes.
Bilan de savoirs CommentairesBilan final des savoirs mathématiques construits au cours des différentes activités proposées. Bilan de savoirs CommentairesBilan final des savoirs mathématiques construits au cours des différentes activités proposées. 

Evaluation initiale / Evaluation finale CommentairesDeux évaluations sont proposées pour étudier les effets de ce travail sur les apprentissages des élèves. La première concerne les nombres à trois chiffres (à proposer avant la séquence). La seconde propose les mêmes tâches mais pourles nombres à quatre chiffres (à proposer en fin de séquence). Elles sont à faire passer en deux fois si possible pour éviter les erreurs liées à la difficulté de concentration sur les derniers exercices.

Prolongements CommentairesLe travail sur la numération et en particulier sur l’aspect décimal ne s’arrête pas ici. Ce savoir est également en jeu dans le calcul posé, les conversions de mesures du système métrique. Ces nouvelles occasions d’utilisation permettront de renforcer les connaissances des élèves.

Ce site a été créé dans le cadre d’une thèse en didactique des mathématiques à l’Université de Paris 7. Il est le fruit d’un travail de coopération entre un "jeune" chercheur ,  Cette adresse e-mail est protégée contre les robots des spammeurs, vous devez activer Javascript pour la voir. et des enseignants de Charente depuis 2009 : Annabelle, Anne, Annick, Bruno, Carole, Cécile, Céline, Isabelle, Maria, Maud, Sabrina, Serge, Stéphanie, Sophie et Sylvie. Sans oublier les conseils de Catherine et Marie-Jeanne … Je tiens à tous les remercier pour leur participation.