Enseigner la numération décimale

Une ressource pour les enseignants de CE2, CM1, CM2 et 6ème

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Accueil 1. DÉNOMBRER Etape 1. Collection en vrac ou totalement groupée

Etape 1 : situation d'introduction

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Combien de bûchettes ?

Enjeux pour le maître

Savoir dénombrer une collection.

Comprendre le lien entre les groupements effectués (aspect décimal : relations entre milliers, centaines …) et le nombre d’objets de la collection (aspect position de la numération).

Problème pour les élèves

Trouver le nombre de bûchettes.

Durée approximative

1ère étape : environ 1 heure (car il faut déjà compter environ 45 minutes pour faire faire tous les groupements aux élèves).

2ème étape : environ 30 à 45 minutes.

Matériel

Il faut prévoir du matériel de base en grande quantité (autour de 3000) comme par exemple des allumettes sans tête (« bûchettes »). Il faut également prévoir du matériel pour faire les groupements (des élastiques, des sachets de congélation, des boites alimentaires transparentes par exemple) : on veillera à utiliser des contenants différents par unité de numération. Matériel de numération des bûchettes : .doc


Déroulement /    Eléments de synthèse


Remarque : il peut être intéressant de proposer des jeux du furet (.pdf) avant cette situation. En effet il faut que les enfants connaissent la suite orale des nombres pour les nombres à 3 chiffres et sachent dépasser le nombre "mille". Cela permettra dans la situation ci-dessous de dénombrer la collection de bûchettes par le comptage oral. De plus le comptage oral est une procédure qui sera souvent utilisée durant la séquence pour vérifier des résultats.


DĂ©roulement

.doc / .pdf

1ère étape : dénombrer une collection non organisée

L’intérêt de cette première étape réside dans le fait de faire réaliser les groupements aux élèves afin d’intégrer le principe de groupements successifs par 10. C’est donc tout d’abord l’aspect décimal de la numération qui est en jeu (les relations entre les unités).

Question n°1 : comment faire pour savoir combien il y a de bûchettes ?

Etant donné la taille de cette collection on élimine rapidement la procédure de comptage un à un et on est amené rapidement à évoquer les groupements par 10 (si les élèves ne le proposent pas c’est l’enseignant qui s’en charge). Les enfants doivent alors effectuer les groupements par 10.

Une fois les groupes de 10 effectués, on remarquera qu’il y en a encore trop pour qu’on puisse les compter facilement, ce qui amène à les grouper encore par 10, en introduisant le matériel correspondant (sachets par exemple).

A partir des différentes sous-collections obtenues par les élèves, il faut ensuite poursuivre le rangement. Cela peut se faire collectivement. On voit rapidement apparaître la nécessité d’amener un matériel pour réaliser les groupements de 10 sachets (on peut utiliser des boites alimentaires transparentes par exemple).

Groupements réalisés par des élèves

Question n°2 : combien de bûchettes dans une boite ?

Il est possible de compter oralement les bûchettes de 100 en 100 dans les sachets mis dans la boîte (cent, deux-cents, ... mille). On appelle ce groupement un millier et on pourra alors dire que “mille” c’est un millier. La boite contient donc dix sachets ou mille bûchettes.

Question n°3 : combien de bûchettes en tout ?

En montrant le matériel et en effectuant un comptage oral de mille en mille, cent en cent, dix en dix et un en un, la classe obtient alors un nombre comme par exemple “deux mille huit cent trente et un” qu’il faut ensuite écrire en chiffres.

Synthèse

Réalisation d’une affiche des différents groupements obtenus (éléments de synthèse)

2ème étape : dénombrer une collection déjà groupée

Il s’agit de proposer des exercices de dénombrement de collections dans des cas variés pour que les élèves s’approprient les relations entre le nombre d’unités, de dizaines, ... et l’écriture en chiffres (aspect position de la numération). Le chiffre 0 apparaît alors comme nécessaire pour marquer l’absence de certaines unités après groupement. On peut également travailler ici la lecture/écriture des nombres à 4 chiffres.

Appropriation

L’enseignant présente des collections devant les élèves et leur demande combien il y a de bûchettes en tout. Ils doivent écrire le nombre en chiffres sur leur ardoise.

Exemples de collections :


Pour que les élèves n’aient pas à se déplacer, on peut écrire au tableau une description de la collection. Exemple : 3 milliers de bûchettes, 2 centaines de bûchettes, 8 dizaines de bûchettes et 5 bûchettes seules.

Procédures possibles

Comptage oral : de mille en mille puis cent en cent, ... puis écriture du nombre en chiffres. Lecture orale puis écriture en chiffres : 3 boites c’est « trois mille » puis 2 sachets c’est « deux cents », etc. puis écriture en chiffres 3285. Position : écriture directe en chiffres à partir du nombre de milliers de bûchettes, de centaines de bûchettes, de dizaines de bûchettes et de bûchettes seules : 3285.

Problème : "combien de bûchettes ?"

Il s’agit du même problème mais sous forme d’un jeu de rapidité. Soit on demande aux élèves de trouver le nombre le plus rapidement possible, soit on montre la collection pendant un temps court (de l’ordre de 20 secondes) avant de la cacher. Les élèves écrivent sur leur feuille ou leur ardoise pendant que la collection est montrée.

Exemples de collections à dénombrer :

On s’attache à proposer des cas variés :

- avec unités dans le « bon ordre » ou dans le désordre mais avec toutes les unités présentes (collection n°1)

- avec certaines unités isolées absentes pour comprendre le rôle du zéro pour marquer la position des chiffres (collection n°2).

On utilise des collections pas trop petites pour éviter que les élèves aient le temps de compter de mille en mille, cent en cent, … comme dans les deux exemples. Le but étant qu’ils comptent directement les milliers (5), les centaines (7), les dizaines (8) et les unités (4) pour trouver l’écriture en chiffres (5784).

Phases de mise en commun :

Lorsque l’élève trouve un nombre à trois chiffres (n’écrit pas le 0 pour marquer l’absence d’unité), la lecture du nombre peut l’amener à prendre conscience de son erreur (car on n’entend pas « mille »).

On amène les élèves à faire le lien entre les chiffres du nombre, les unités et la collection : « le 6 que tu as écrit ici (par exemple dans 6970), peux-tu me montrer à quoi il correspond dans la collection ? ». Cela peut aussi permettre une vérification des réponses des élèves.

Il est aussi possible de discuter des méthodes pour être le plus rapide possible après avoir traité quelques cas.

Synthèse

La procédure d’obtention directe du nombre à partir de la collection groupée (technique de position) est apparue au fur et à mesure de la séance comme un moyen plus rapide, plus efficace que le comptage oral pour obtenir le nombre de bûchettes. Il faut maintenant mettre en mots cette technique en rappelant le lien entre collection, unités et écriture en chiffres. Cela peut se faire avec un tableau de numération. Cf éléments de synthèse : points 2 et 3.

La technique de lecture d’un nombre à quatre chiffres ainsi que le rôle du 0 seront également explicités.


Eléments de synthèse

.doc

1. Affiche : les unités de numération, les matériels de numération CommentaireIl est important de faire comprendre aux élèves que les unités de numération (unités, dizaines, centaines et milliers) sont des unités qui servent à exprimer des quantités (ce ne sont pas seulement les noms des colonnes dans le tableau de numération !). Nous proposons donc de réaliser une affiche progressivement sur laquelle apparaîtront les différents contextes rencontrés au cours de la séquence (cela peut aussi faire l’objet d’une trace dans le cahier des élèves). Cette affiche permettra également de comprendre que les groupements successifs par 10 ne sont pas spécifiques d’un matériel particulier (ce qui aura été perçu dans la résolution des exercices dans des contextes variés). On y fera figurer également les relations entre unités de manière décontextualisée. Cette affiche peut-être réalisée dès la fin de la première étape de la situation.

Affiche

2. Comment dénombrer une collection ?

1er exemple : la collection est groupée en 2 milliers, 5 centaines, 1 dizaine et 4 unités

Les milliers s’écrivent au 4ème rang à partir de la droite :

M C D U
2 5 1 4
Cela fait donc un total de 2514.

On lit ce nombre : « deux-mille-cinq-cent-quatorze ».

2ème exemple : la collection est groupée en 1 millier, 3 centaines et 4 unités.

M C D U
1 3
4
Pour Ă©crire un nombre en chiffres, il faut un chiffre Ă  chaque rang. Ce chiffre peut ĂŞtre 0.

Ici il ne reste pas de dizaine toutes seules une fois tous les groupements effectués donc on en écrit le chiffre 0 au rang des dizaines (si on ne l’écrivait pas, on obtiendrait 134).

Cela fait donc un total de 1304.

On lit ce nombre : « mille-trois-cent-quatre » car pour la lecture d’un nombre le « un » ne se dit pas devant « mille » (comme devant « cent »).