Enseigner la numération décimale

Une ressource pour les enseignants de cycle 3

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Exercices et problèmes

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Nous proposons ici une liste d'exercices et problèmes permettant de poursuivre le travail sur le dénombrement d'une collection, puis de travailler les conversions entre unités.

La responsabilité est bien-sûr laissée à l'enseignant de :

- choisir ses exercices et problèmes : une courte description pour chacun peut aider l'enseignant dans son choix. L'ordre dans lesquels les exercices sont proposés peut constituer une trame de progression.

- modifier leur contenu pour l'adapter à sa progression, ses élèves ... : les exercices sont proposés sous format .doc (document Microsoft Word®) afin de faciliter leur modification.

- choisir leur mise en oeuvre : ils peuvent être traités individuellement, en groupes ou collectivement. Sur cahier ou sur ardoise. Etc.

Pour chaque exercice nous indiquons les savoir-faire, c'est à dire les tâches qui sont travaillées et pour lesquelles les élèves vont apprendre des techniques pour les traiter. Nous précisons également les savoirs mathématiques qui permettent d'expliquer et de justifier ces techniques.


Liste des exercices et problèmes :

Dénombrer une collection totalement groupée Dénombrer une collection "en vrac" Dénombrer une collection partiellement groupée Conversions Autres
Combien de cubes Combien de carreaux Des bûchettes "en pagaille" Conversions Ecriture en chiffres et en lettres
Assez d'argent
Qui a le plus Conversions et compositions de nombres Comparaisons de nombres, rangements

Conversions et ajouts d'unités Jeu des familles
Conversions et multiplications par 10, 100, 1000.

Combien de cubes ?

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Savoir-faire : dénombrer une collection déjà groupée. Savoir : principe de position de la numération (les milliers s'écrivent au 4ème rang à partir de la droite, etc.)

Présentation : Un exercice d’entraînement au dénombrement de collections totalement groupées où on passe tout de suite dans un autre contexte que les bûchettes pour commencer à généraliser ce qui a été appris. Ce sont les unités de numération qui permettent de lier ces contextes : on passe de « milliers de bûchettes » à « milliers de cubes », etc. Cela devrait amener les enfants à dire « c’est comme les bûchettes … ».

De plus l’utilisation des unités de numération dans pour le dénombrement est important car il permet de vraiment travailler le lien unité/position et rend plus difficile le comptage oral (mille, deux mille, …).

Exemple : Une collection est constituée de 7 centaines de cubes + 6 milliers de cubes + 2 dizaines de cubes. Combien y a-t-il de cubes en tout ?


Ecriture en chiffres et en lettres

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Savoir faire : passer d’une écriture en chiffres à une écriture en lettres et réciproquement. Savoirs : principe de position (dans 3214 il y a 3 milliers, etc.) et lien entre mots « milliers et « mille » (3 milliers se lit « trois mille » mais 1 millier se lit « mille »).

Description : Comme il est nécessaire de dire les noms des nombres pour communiquer à l’oral, cela doit être travaillé dès le début de la séquence. On travaille cette tâche dans les deux sens (chiffres vers mots et mots vers chiffres).

Exemples : Ecris en lettres le nombre 3045. Ecris en chiffres le nombre « deux-mille-cent-douze ».


Assez d’argent ?

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Savoir-faire : comparer une collection déjà groupé à un nombre écrit en chiffres. Savoirs : Principe de position de la numération (pour comparer 3480 et 3602 comme il y a 3 milliers dans les deux nombres il faut comparer les centaines).

Description : Permet de travailler la comparaison dans une tâche plus complexe que la comparaison directe à partir des nombres. Il est en effet nécessaire de déterminer d’abord le montant en euros possédé par la personne avant de pouvoir comparer au prix de l’article.

L’utilisation de la monnaie permet d’introduire une nouvelle expression des unités : la centaine d’euros s’écrit « 100 », la dizaine « 10 » et l’unité « 1 ».

Ce passage à la monnaie est aussi une étape supplémentaire dans l’abstraction car un billet de 100 euros ne contient pas 10 billets de 10 euros (alors qu’un sachet de 1 centaine de bûchettes contient 10 dizaines de bûchette). La centaine n’est plus vue comme un groupement de 10 dizaines mais plutôt comme équivalente à 10 dizaines (on peut échanger 1 billet de 100 contre 10 billets de 10).

Exemple : M. Franquin possède la somme suivante : 2 milliers d’euros, 8 billets de 10 euros et 5 billets de 100 euros. Il souhaite acheter un abri de jardin à 2749 euros. A-t-il assez d’argent ? Explique.


Combien de carreaux ? (papier millimétré)

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Savoir-faire : Dénombrer des collections dont le groupement n’est pas visible à première vue. Savoirs : Principe décimal (repérer les groupements par 10, 100, 1000 sur le papier quadrillé) et principe de position (pour associer le nombre de groupements de chaque ordre à leur rang).

Description : Il s’agit d’un problème qui reprend la tâche de dénombrement. Cependant la spécifité du papier millimétré fait que des groupements sont possible par 10, 100, 1000 mais ils ne sont pas donnés directement. Ce sera aux élèves de comprendre comment sont organisés les carreaux pour pouvoir les dénombrer rapidement. La rapidité sera un critère essentiel pour amener les élèves à repérer les groupements.


Comparaisons de nombres, rangement

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Savoir-faire : comparer, ranger. Compléter des suites de nombres. Savoirs : Principe de position de la numération.

Description : Des exercices de comparaison de nombres à partir de l’écriture chiffrée. La technique de comparaison de nombres vue pour les nombres à trois chiffres est étendue au cas des nombres à 4 chiffres.

Exemple : avec  0, 2, 6, 9 écris le plus grand nombre de 4 chiffres.


Des bûchettes « en pagaille »

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Il s'agit d'un problème important de la séquence qui propose un passage entre une conception davantage positionnelle (portée par les premiers exercices) à une conception décimale, par l'introduction des conversions entre unités de numération (exercices suivants).

Savoir-faire : dénombrer une collection partiellement groupée. Savoirs : Principe décimal (puisque la collection est partiellement groupée il faut finir les groupements en s'appuyant sur desconversions comme par exemple 30 centaines = 3 milliers) et principe de position pour le dénombrement final.

Description : Ce problème permet de rompre avec une conception uniquement positionnelle (juxtaposition des chiffres). Il s’agit encore d’une situation de dénombrement mais les collections utilisées ne seront pas totalement groupées : il reste certaines unités en nombre supérieur à 10. Cela amène les élèves à faire des conversions entre unités (et donc à utiliser l’aspect décimal de la numération).

Exemple : Combien y’a-t-il de bûchettes dans une collection de 23 centaines de bûchettes, 1 millier de bûchettes, 35 bûchettes à l’unité et 16 dizaines de bûchettes ?


Qui a le plus ?

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Savoir-faire : comparer deux collections partiellement groupées. Savoirs : Principe décimal (puisque les collections ne sont pas totalement groupées il faudra faire des conversions, comme par exemple 41 centaines = 4 milliers + 1 centaine). L’aspect position est en jeu si les élèves passent par l’écriture en chiffres, ce qui n’est pas nécessaire ici.

Description : Des comparaisons dans différents contextes (bûchettes, cubes, monnaie). On commence par proposer des collections représentées pour que les élèves puissent faire référence au groupement du matériel (« quand on a 10 sachets on peut les mettre dans une boite, etc.). Mais progressivement on amène les élèves à faire les conversions en s’appuyant sur les relations entre unités : 10 centaines = 1 millier, etc.

Exemple : Une école possède 2 milliers de cubes, 41 centaines de cubes et 25 cubes seuls. Une autre possède 6 milliers de cubes et 4 dizaines de cubes. Qui a le plus de cubes ?


Conversions

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Savoir-faire : convertir entre unités de numération. Savoirs : Principe décimal (relations entre unités de numération : 30 centaines = 3 milliers car 10 centaines = 1 millier).

Description : Des conversions dans différents contextes (pas avec les bûchettes puisque cela a fait l’objet du « jeu des paris »). L’élève doit prendre conscience qu’indépendamment du matériel on a toujours 10 unités = 1 dizaines, 10 dizaines = 1 centaines et 10 centaines = 1 millier.

Exemples : Combien de milliers de cubes peut-on faire avec 41 centaines de cubes ? Combien faut-il de billets de 100 euros pour faire 5 milliers d’euros ?


Conversions et compositions de nombres (Exercices hors contexte)

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Savoir-faire : Retrouver un nombre à partir d’une écriture en unités et faire des conversions entre unités. Savoirs : Principe de position et principe décimal (relations entre unités de la numération).

Description : Des exercices qui reprennent les tâches travaillées précédemment mais hors contexte.

Exemples : 60 C = … M   ou encore    34 centaines + 8 dizaines + 2 milliers + 6 unités = …


Conversions et ajout d’unités

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Savoir-faire : convertir entre unités de numération. Savoirs : Principe de position et principe décimal (relations entre unités de la numération).

Description : Des exercices d’ajouts d’unités pour travailler les conversions tout en mêlant les écritures en unités de numération et les écritures du type 300, 5000, etc. Hors contexte.

Exemples : Combien de centaines faut-il ajouter à 2 milliers pour faire 3000 ? Combien de centaines faut-il ajouter à 600 pour faire 1 millier ? Combien faut-il ajouter à 45 centaines pour faire 6 milliers ?


Conversions et multiplications par 10, 100 ou 1000 (Exercices hors contexte)

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Savoir-faire : Multiplier un nombre par 10, 100 ou 1000. Savoirs : Principe de position et principe décimal (relations entre unités de la numération : 23x100 = 23C = 2M + 3C = 2300U car 10C = 1M).

Description : Cet exercice permet de faire le lien entre la « règle des zéros » pour la multiplication par 10, 100, 1000 et les conversions entre unités. En effet les conversions nous donnent : 23C = 2M + 3C = 2300U ou encore 61D = 6C + 1D = 610. On constate alors que multiplier un nombre par 100 revient à écrire deux zéros à droite (pour que les unités deviennent des centaines) ou multiplier un nombre par 10 revient à écrire un zéro à droite (pour que les unités deviennent des dizaines). On traitera le cas de la multiplication par 1000 seulement dans le cas de nombres à 1 chiffre (pour le moment).

Exemples : 41 dizaines  = ………… unités, 36 centaines = ………… unités, etc.


Jeu des familles

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Savoir-faire : associer différentes écritures d’un même nombre. Savoirs : Principe de position et principe décimal

Description : Il s’agit d’associer différentes écritures (à colorier) d’un même nombre en utilisant les connaissances sur la numération. Des pièges sont présents. Ils obligeront les élèves à être vigilants.