Enseigner la numération décimale

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Les grandeurs et mesures du système métrique

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Les relations entre numération et unités de mesures du système métrique

Pour cette partie nous nous appuyons sur l’article « Le système métrique au service de la numération et des grandeurs » de C.Chambris (2011).

Pour mieux comprendre les relations entre les unités du système métrique il est possible de les mettre en relation avec les unités de la numération. Cela permet en retour de renforcer la compréhension de notre système de numération.

Question : Les 4 exercices suivants sont-ils indépendants ?

1) Pour faire les photocopies de l’école, il faut 8564 feuilles de papier. Les feuilles sont vendues par paquets de 100. Combien de paquets faut-il acheter ?

2) Combien de sachets de 100 g de farine peut-on remplir avec un sac de 4 kg de farine ?

3) Le nombre de centaines de 8734 est …

4) 8 kg = …….hg

Voici ce qu’en dit Chambris : «  Ces quatre exercices peuvent être vus comme des exercices de numération travaillant la relation de millier à centaines. À ce titre, ils ont leur place dès le début du cycle 3 (sauf le 4e, pour lequel l’unité « hectogramme » doit être connue). Pour savoir qu’il s’agit du « même » exercice dans différents contextes, il importe d’y repérer la relation entre millier et centaines : un millier, c’est dix centaines ou dix centaines, c’est un millier ».

« Trouver le nombre de centaines de 8734 consiste à trouver combien il y a de centaines dans 8734. Le 8 (4e position) indique 8 milliers qui sont aussi 80 centaines. Le 7 (3e position) indique 7 centaines. En tout, il y a donc 87 centaines. De la même façon, trouver le nombre de paquets de 100 feuilles qu’il faut pour avoir 8564 feuilles revient à trouver combien il y a de centaines (100 feuilles, c’est une centaine de feuille, le 1 est en 3e position) dans 8563 feuilles. La technique de l’exercice précédent donne 85 centaines. Il faut bien sûr ajouter 1 paquet qui ne sera qu’entamé, soit 86 paquets. Pour déterminer combien de fois de 100 g sont contenues dans 4 kg, on peut interpréter 4 kg comme 4 milliers de g et 100 g comme 1 centaine de g (1 en 3e position) puis convertir 4 milliers en centaines ou encore 100 g comme 1 hg et convertir les 4 kg en hg (cf. exercice 4). Enfin, 8 kg = …. hg peut se traduire dans les unités de numération en 8 milliers de grammes à convertir en centaines de grammes, soit 8 milliers en centaines. Plus directement, sans faire appel explicitement à la relation de millier à centaines, on peut utiliser que « un kilogramme, c’est une dizaine d’hectogrammes » et donc que 8 kg sont 8 dizaines d’hg, soit 80 hg. »

Remarque : « La signification des préfixes métriques d’origine grecque ou latine : déca – dix, hecto – cent, kilo – mille, déci – dix, centi – cent, milli – mille permet de repérer le rapport à l’unité. […] Connaître l’ordre de succession des unités peut aider à se souvenir de la signification des préfixes et permet aussi de percevoir rapidement la relation de dizaine entre deux unités métriques successives ou la relation de centaine (dizaine de dizaines) lorsqu’il y a une unité intermédiaire. Ainsi, 1 décimètre c’est une dizaine de centimètres, un centimètre c’est une dizaine de millimètres donc 1 décimètre c’est une centaine millimètres. »


Propositions pour la classe

1. Des problèmes de commandes utilisant différentes grandeurs (longueurs, masse, contenance) sont proposés dans les exercices et problèmes de la situation des commandes : .doc / .pdf

2. Mais il y a un travail spécifique à faire sur le lien conversions en numération/conversions de mesures qui n’est pas fait dans l'exercice précédent. C’est à l’occasion du travail sur les conversions de mesures du système métrique que l’enseignant amènera ses élèves à faire les liens qui sont évoqués ci-dessus.

Par exemple lors d'un exercice sur les conversions comme celui-là : "convertir 3kg en grammes", on peut apprendre aux élèves de passer par la relation 1kg c'est un 1 millier de g, la conversion peut alors se traiter comme une question de numération : 3 milliers de g c'est 3000 g.

Tout d'abord des exercices nouveaux pour permettre aux élèves de se familiariser avec ce lien unités de numération/unités du système métrique :

Retrouve l'unité :

- 1 centaine de cm s'appelle un ............ .

- 1 millier de m s'appelle un ............

Etc.

Complète en utilisant les mots dizaine, centaine ou millier.

- 1 m c'est 1 ............. de mm.

- 1 m c'est 1 ............. de dm.

Etc.

Puis des exercices plus classiques de conversions entre unités, pour lesquels on va s'appuyer sur le travail précédent :

- 1kg 50g = ... g ? Réponse : 1kg 50gc'est 1 millier de g et 5 dizaines de g soit 1050 g.

- 1200g = ... kg ... g ? Réponse : 1200g c'est 1 millier de g et 200g soit 1kg 200g.

Etc.

Pour mémoriser les relations entre unités du système métrique et faire le lien avec la numération des nombres entiers, on peut utiliser un tableau du type :

kilogrammes

(kg)

grammes

(g)

milliers de g centaines de g dizaines de g g
3 0 0 0

Remarque : on ne nomme pas les décagrammes et hectogrammes en CE2, conformément aux programmes en vigueur. Mais on peut parler de dizaines de g ou centaines de g.