Etape 5. De très grandes collections

Objectifs

Savoir-faire : dénombrer une grande collection (au-delà du million).

Savoirs : les principes de la numération écrite pour les nombres jusqu’au million (position et relations entre unités)

Description :

Il s’agit d’une situation d’introduction des grands nombres. Comme pour les nombres à 4 chiffres nous proposons une situation de dénombrement pour que les élèves comprennent que le principe de groupements par 10 se prolonge pour les nombres supérieurs à 9999. Les élèves apprennent à associer les rangs de l’écriture chiffrées aux différentes unités (dizaines de milliers, centaines de milliers, millions, etc.) et apprennent les relations entre unités : 10 milliers font 1 dizaine de milliers, 10 dizaines de milliers font 1 centaine de millier et 10 centaines de milliers font 1 million...

Matériel : Calculatrices à disposition des élèves. Feuilles de papier millimétré : au moins 25 feuilles.

Phase 1 : introduction des nouvelles unités par un problème de dénombrement

Problème 1

L'enseignant montre une feuille de papier millimétré en expliquant qu'elle est constitué de plein de petits carrés de 1mm sur 1mm.

De combien de petits carrés y'a-t-il sur une page de papier millimétré ?

Les élèves peuvent commencer par faire des prévisions à l'oral. Ils parlent de mille, dix mille, cent mille, de millions, voire de milliards ...

L'enseignant distribue alors une feuille de papier millimétré à chaque groupe de deux élèves. Attention, il faut donner au plus 18 feuilles en tout pour ne pas dépasser un million. L'enseignant demande de trouver précisément le nombre de petits carrés.

Télécharger papier millimétré

Recherche

Le dénombrement des carrés un par un est trop long, il faut donc s'organiser. Les élèves peuvent repérer des plus grands carrés de 10 sur 10 (donc de 100 petits carrés), ce qui peut leur permettre :

- soit d'essayer de dénombrer ses carrés qui sont moins nombreux puis de multiplier par 100 le nombre obtenu. Mais le dénombrement est encore fastidieux.

- soit de chercher le nombre de carrés sur la longueur et la largeur de la feuille et utiliser la multiplication de ces deux nombres pour calculer le nombres total de carrés.

NB : la calculatrice est autorisée, mais si la classe n'est pas équipée, les élèves peuvent faire du calcul posé.

Si beaucoup d'élèves utilisent une procédure de comptage très longue, l'enseignant peut organiser une courte discussion collective au cours de la séance pour comparer différentes méthodes et relancer les élèves dans la recherche en leur demandant de trouver une méthode rapide.

Réponse attendue (avec la feuille de papier millimétrée téléchargée) : 280 x 190 = 53200.

Discussion collective et premiers apports (dizaine de milliers)

Dans un premier temps, il faut comparer les réponses produites et étudier leur validité. L'enseignant s'attache pour le moment à ne pas dire le nom des nombres, même si certains élèves savent le faire. Il peut par exemple faire une lecture chiffre par chiffre (cinq, trois, deux, zéro, zéro pour 53200).

Dans un deuxième temps l'enseignant demande aux élèves si on a atteint "un million", comme certains l'avaient prédit ?

L'enseignant définit alors une nouvelle unité : 1 dizaine de milliers = 10 milliers. Les dizaines de milliers s’écrivent au 5^ème rang à partir de la droite. Donc 1 dizaine de milliers s'écrit 10000 (4 zéros).

Donc le nombre 53200 est égal à 5 dizaines de milliers, 3 milliers et 2 centaines.

Il présente une illustration des différentes unités avec le papier millimétré :  document à télécharger (pdf)

Problème 2

L'enseignant récupère alors l'ensemble des feuilles de papier millimétré distribuées et les affiche au tableau. Il demande alors aux élèves si avec toutes ces feuilles on arrive à un million de petits carrés.

Recherche

Les élèves peuvent effectuer une addition itérée de 53200 (avec la difficulté de contrôler le nombre d'additions effectuées) ou une multiplication de 53200 par le nombre de feuilles.

Réponse attendue dans une classe où l'enseignant a utilisé par exemple 14 feuilles (toujours avec la feuille de papier millimétrée téléchargée) : 14 x 53200 = 744 800.

Discussion collective et apports (centaine de milliers)

Dans un premier temps, il faut comparer les réponses produites et étudier leur validité (toujours sans dire le nom usuel des nombres).

Dans un deuxième temps l'enseignant demande aux élèves si on a atteint "un million" et il définit une nouvelle unité : 1 centaine de milliers = 10 dizaines de milliers. Les centaines de milliers s’écrivent au 6^ème rang à partir de la droite. Donc 1 centaine de milliers s'écrit 100000 (5 zéros).

L'enseignant demande aux élèves combien il faudrait de feuilles pour avoir exactement 100 000 carrés (collectivement on trouve 2 feuilles) puis combien il faudrait enlever de carrés à la dernière feuille pour avoir exactement une centaine de milliers (on trouve 6400).

Donc le nombre 744800 est égal à 7 centaines de milliers 4 dizaines de milliers 4 milliers et 8 centaines.

Ensuite, pour illustrer la centaine de milliers au tableau et en garder une trace pour la séquence, l'enseignant découpe ces carrés en trop sur la dernière feuille (6400, ce qui revient à garder 46 800 sur la dernière feuille) et conserve cet affichage sur un mur de la classe : un collage des 3 feuilles de papier (dont la dernière ne contient que 46800 carrés).

Problème 3

L'enseignant demande alors combien il faudrait de feuilles de papier millimétré pour avoir au moins un million de petits carrés.

Recherche

Les élèves peuvent faire des additions répétées ou essais de multiplications en partant du nombre de carrés par feuilles (43700) ou bien partir de 1 million et faire des soustractions successives ou une division.

Réponse attendue (avec la feuille de papier millimétrée téléchargée) : 19 feuilles car 19 x 53200 = 1 010 800 (alors que 18 x 53200 = 957 600).

Discussion collective et apports (million)

Dans un premier temps, il faut comparer les réponses produites et étudier leur validité (toujours sans dire le nom usuel des nombres).

Dans un deuxième temps l'enseignant définit la nouvelle unité "million" : 1 million = 10 centaines de milliers. Les millions s’écrivent au 7^ème rang à partir de la droite. Donc 1 million s'écrit 1000000 (6 zéros).

Pour illustrer le million au tableau et le garder comme trace écrite, l'enseignant demande le nombre de carrés en trop sur la dernière feuille (pour avoir exactement un million) et découpe ces carrés sur la dernière feuille (ici 10 800). Il conserve sur un mur de la classe un collage des 19 feuilles de papier (dont la dernière est amputée de quelques carrés).

L'enseignant montre alors comment prolonger le tableau de numération (attention pour le moment sans les classes) :

MM	CM	DM	M	C	D	U
Million	Centaine de millier	Dizaine de millier	Millier	Centaine	Dizaine	Unité
1	0	0	0	0	0	0

Remarque 1 : le tableau de numération est construit progressivement : pour le moment il ne contient que les unités (de base 10), ce qui correspond à l’extension du système d’écriture des nombres en chiffres au-delà du millier. Le tableau avec les classes sera institutionnalisé seulement lors de la prochaine étape.

Remarque 2: pour symboliser le million il est préférable d’écrire un M avec une barre au-dessus (et deux barres pour le milliard), ce qui est difficile à faire avec le traitement de texte …

Problème 4 pour les CM2 et sixième

Combien de feuilles faudrait-il pour avoir un milliard de petits carrés ?

Réponse attendue (avec la feuille de papier millimétrée téléchargée) : 18 797 feuilles car 18797  x 53200 = 1 000 0000 400 (alors que 18796 x 53200 = 999 947 200).

On reprend le même type de travail que dans la phase précédente. La synthèse porte sur les dizaines de millions, centaines de millions et le milliard, et leur écriture en chiffres en lien avec l'extension du tableau de numération.

Problème 1 : dénombrements sans conversion

L’objectif est de permettre aux élèves de s’approprier le rang de chaque unité (notamment, dizaines de mille, centaines de mille, million, …) dans l’écriture en chiffres.

L’enseignant écrit une quantité au tableau que les élèves doivent dénombrer en écrivant le nombre sur leur ardoise : « combien y’a-t-il de cubes dans cette grande collection ? Ecrivez le nombre sur votre ardoise ».

Exemples :

-  3 millions de carrés

-  5 centaines de milliers de carrés

-  8 dizaines de carrés, 7 centaines de carrés, 5 dizaines de milliers de carrés et 2 millions de carrés

-  4 unités, 2 centaines, 9 milliers, 1 centaine de milliers et 7 millions

-  7 millions et 9 dizaines de milliers

-   …

Choix des collections à dénombrer : absence d’unité à certains ordres pour mettre en jeu le zéro et ordre des unités varié.

Problème 2 : dénombrements avec conversions

Il s’agit du même problème, mais avec plus de dix unités à certains ordres pour mettre en jeu les relations entre unités.

Remarque : on pourra utiliser des abréviations pour le nom des unités : U, D, C, M, DM, CM, MM, DMM, CMM.

Exemples :

-          52 dizaines de carrés, 4 centaines de carrés, 3 dizaines de milliers de carrés et 2 millions de carrés

-          7 C, 2 M, 43 CM et 1 MM

-          4 MM, 5 CM, 32 DM, 1 C et 7 U

-          …

Choix des collections à dénombrer : plus de 10 unités à certains ordres, des nombres importants d’unités (supérieurs à 30 ou 40) pour rendre très couteuses les procédures s’appuyant sur un dessin. On privilégie les cas avec une seule conversion au début.

Au cours des mises en commun des réponses des élèves l’enseignant recueille les différentes réponses au tableau et amène les élèves à échanger sur leur validité. L’affiche des différents groupements peut-être utile pour rappeler les relations entre unités à partir des groupements successifs par 10.

Il n’est pas utile de lire le nombre pour le moment : l’objectif étant de travailler la relation entre les différentes unités et l’écriture en chiffres.

Les éléments de synthèse des savoirs rencontrés au cours de la séance

Nous avons rencontré de nouvelles unités :

-          1 dizaine de milliers = 10 milliers. Les dizaines de milliers s’écrivent au 5^ème rang à partir de la droite.

-          1 centaine de milliers = 10 dizaines de milliers. Les centaines de milliers s’écrivent au 6^ème rang à partir de la droite.

-          1 million = 10 centaines de milliers. Les millions s’écrivent au 7^ème rang à partir de la droite.

Exemple : 1MM 4CM 3M 8U = 1 403 008

Cela nous amène à prolonger le tableau de numération. On donnera une première version du tableau de numération (sans les classes) :

MM	CM	DM	M	C	D	U
Million	Centaine de millier	Dizaine de millier	Millier	Centaine	Dizaine	Unité
1	4	Â	3	Â	Â	8

Remarque 1 : le tableau de numération est construit progressivement : pour le moment il ne contient que les unités, ce qui correspond à l’extension du système d’écriture des nombres en chiffres au-delà du millier. Le tableau avec les classes sera institutionnalisé lors de la prochaine étape.

Remarque 2 : pour symboliser le million il est préférable d’écrire un M avec une barre au-dessus (et deux barres pour le milliard), ce qui est difficile à faire avec le traitement de texte …

S’il ne les a pas déjà introduit avant, l’enseignant peut alors demander aux élèves « et après ? » et amener ainsi les dizaines de millions et centaines de millions, selon le même principe que les dizaines et centaines de mille. On les ajoutera dans le tableau :

CMM	DMM	MM	CM	DM	M	C	D	U
Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â

1. Jeu du furet oral sur l’ordre des unités.

L’enseignant commence à dire « unité », un élève poursuit avec « dizaine », un autre avec « centaine », etc.

Le but est que les élèves mémorisent l’ordre des unités : U, D, C, M, DM, CM, MM, DMM, CMM.

2. Compositions et décompositions

Ecriture en unités	Ecriture en chiffres
2 dizaines, 7 dizaines de milliers et 5 millions	Â
8 centaines de milliers	Â
9 unités, 8 centaines, 4 milliers, 1 centaine de milliers et 6 millions	Â
3 dizaines de milliers et 6 dizaines de millions	Â
7 millions et 2 centaines de milliers	Â
5 centaines de millions	Â
5 milliers, 3 millions et 1 dizaine de millions	Â
1 centaine de millions, 7 centaines de milliers	Â
Â	4 000 000
Â	6 030 004
Â	70 100 000
Â	900 650 020

3. Conversions entre unités

Complète :

a. 10 milliers = … dizaine de milliers

b. 20 dizaines de milliers = … centaines de milliers

c. 1 centaine de milliers = … dizaines de milliers

d. 3 centaines de milliers = …… milliers

e. 10 centaines de milliers = …… million

f. 30 centaines de milliers = …… millions

g. 4 millions = …… centaines de milliers

h. 5 dizaines de millions = …… millions

i. 3 centaines de millions = …… dizaines de millions

j. 5 centaines de millions = …… millions

k. 20 millions = …… dizaines de millions