Etape 6. Décomposer, lire/écrire les grands nombres et les situer sur une droite graduée

Objectifs

Savoir-faire : Décomposer des grands nombres, lire et écrire des grands nombres (au-delà du million), les situer sur une droite graduée.

Savoirs : Les relations entre unités, milliers et millions. Les « classes » (unités, mille, millions). Relations entre rangs et classes.

Description : Pour amener les élèves à comprendre le fonctionnement de la numération parlée des grands nombres (par classes), il est proposé un premier jeu de commandes en unités, milliers et millions (phase 1). La phase 2 commence la lecture des grands nombres dans le sens le plus aisé (écriture en chiffres → oral) ce qui permet de montrer le lien avec les décompositions précédentes. La deuxième activité (écriture en chiffres → oral) permet de travailler les principales difficultés des élèves : les 0 qui ne s’entendent pas. Enfin la troisième phase amène à situer des grands nombres sur une droite graduée afin de renforcer les relations entre ces nombres.

Matériel :

Affiches de la séance précédente avec le papier millimétré (unité, dizaines, ..., million).

Une ardoise pour chaque élève.

Phase 1 : Décomposer un nombre en unités, milliers et millions

A partir des affiches construites dans une séance précédente, l’enseignant rappelle différents groupements obtenus lors du dénombrement des carrés de feuilles de papier millimétré : unité, dizaine, centaine ... jusqu'à un million (19 feuilles dont la dernière est amputée de quelques carrés).

Il indique qu'il va falloir aujourd'hui trouver comment construire des collections de carrés à partir des nombres qu'il va donner.

Première étape : Trouver différentes décompositions d'un nombre

Le problème. L'enseignant écrit un nombre au tableau : 6 2 3 0 0 0 5 et demande aux élèves d'écrire au moins deux façons différentes de faire ce nombre en utilisant les unités qu'ils veulent (montrer les affiches des unités). Ils doivent écrire en utilisant les mots "unités", "dizaines", etc. ou leur abréviation U, D, ...

Mise en commun et vérification. L'enseignant recueille les propositions des élèves et les fait échanger sur leur validité (il s'appuie sur le travail fait dans la séance précédente sur les conversions d'unités).

L'enseignant ne met pas en évidence une décomposition plutôt qu'une autre pour le moment. L'important est de vérifier qu'elles sont toutes équivalentes.

NB : S'il n'y a pas de difficulté un seul nombre peut suffire pour cette première étape (afin de prendre plus de temps sur la décomposition en unités, milliers et millions). Sinon l'enseignant propose également 4 7 0 8 0 0 5 0.

Deuxième étape : Décomposer en unités, milliers et millions

L'enseignant ne garde que trois types d'unités parmi toutes les unités présentées sur les affiches : le carré unité, un millier de carrés (barre de 10 centaines de carrés) et un million de carrés (19 feuilles dont la dernière est amputée de quelques carrés).

Le problème. L’enseignant écrit un nombre au tableau en marquant un espace entre chaque chiffre mais pas entre les classes (par exemple 5 6 5 0 0 8,   2 1 0 5 0 8 6,   3 5 0 0 2 7 1 2, …) et demande aux élèves d’écrire sur leur ardoise (ou cahier) le nombre de carrés à l’unité, le nombre de carrés par milliers et le nombre de carrés par millions nécessaires pour obtenir le nombre indiqué. Le nombre n’est pas lu (le travail sur la façon de lire le nombre est l’objet de la partie suivante).

Mise en commun et vérification. Lors de la mise en commun l’enseignant recueille les différentes réponses proposées par les élèves et les amène à échanger sur leur validité.

La vérification revient au travail fait dans la situation précédente (dénombrement de grandes collections). Elle peut se faire en repassant d’une écriture en classes à une écriture en unités. Par exemple la réponse 2 millions 105 milliers 86 unités peut être écrite ainsi : 2MM 1CM 5M 8D 6U, ce qui permet de retrouver l’écriture en chiffres 2 1 0 5 0 8 6.

Le tableau de numération (le même que celui de la séance précédente : en unités de base 10) permet de rappeler la position des différentes unités dans l’écriture en chiffres.

Phase 2 : Lire et écrire des grands nombres

L'enseignant annonce que maintenant nous allons apprendre à dire les grands nombres comme dans la vie courante, c'est à dire sans dire dizaine de millier par exemple. Est-ce que vous savez comment on lit ces nombres par exemple ?

Première étape : lire des grands nombres.

L’enseignant écrit trois nombres en chiffres (par exemple : 2 5 9 0 0, 9 0 6 7 3 0,   8 3 4 5 8 0 7) au tableau. Les élèves doivent les lire « dans leur tête ». Pour chaque nombre un élève est interrogé. Les autres disent s’ils ont le même nombre ou pas.

Première synthèse rapide : l’enseignant fera le lien entre la décomposition en millions, milliers et unités (cf. phase 1) et la lecture du nombre. Par exemple 8 3 4 5 8 0 7 se décompose 8 millions 345 milliers 807 unités et se lit huit-millions-trois-cent-quarante-cinq-mille-huit-cent-sept. A partir de la décomposition en millions, milliers et unités il suffit donc de remplacer "milliers" par "mille" pour dire le nombre.

Remarque : cette étape est courte (trois nombres suffisent), le but étant de confronter rapidement les élèves à l’étape suivante.

Deuxième étape : Ecrire des grands nombres en chiffres

Le problème. L’enseignant écrit un nombre en chiffres (par exemple 1 0 5 2 8 3 4) au dos du tableau (ou sur une ardoise).

Un élève vient lire ce nombre sans le montrer aux autres, mais pour que les autres puissent le retrouver. Ce nombre lu est écrit en toutes lettres par l'enseignant au tableau.

Les autres élèves doivent alors écrire sur leur ardoise le nombre cherché.

Choix des nombres. Les nombres sont choisis avec des zéros à certains rangs (par exemple 1 002 054, 47 080 309, 651 000 004, …) pour travailler sur la principale difficulté : les zéros que l’on n’entend pas à l’oral.

Discussion collective. L’enseignant recueille les différentes réponses au tableau (de façon à ce que quand on ouvrira la partie cachée les deux parties soient côte à côte ou bien expose certaines ardoises au tableau). Les élèves doivent se mettre d’accord sur une seule réponse. Les discussions doivent amener à décomposer les nombres proposés par les élèves pour les invalider. Le tableau de numération (toujours en rangs pour le moment) peut aider. Par exemple si un élève écrit 1 2 0 5 4 pour "un-million-deux-mille-cinquante-quatre", on peut lire ce nombre en unités 1DM 2 M 5D 4U et constater qu'il n'y a pas de million. Pour avoir un million il faut que le 1 soit au 7ème rang (donc qu'il y ait 6 chiffres à sa droite).

Une fois tout le monde d’accord, l’élève au tableau montre le nombre de départ et on compare les deux écritures. L’élève qui a lu le nombre a pu aussi faire une erreur …

Un autre élève prend sa place et l’activité se poursuit avec un autre nombre.

Autre dispositif possible : avec un logiciel de dictée vocale sur ordinateur ou téléphone portable de l’enseignant (possible avec Google Translate® qui est gratuit : on écrit en chiffres dans le mode « anglais » mais sans espace ni point ni virgule, et on demande la traduction en français avec dictée vocale). Du coup on fait discuter les élèves et après on fait lire par le logiciel les différentes propositions pour vérification.

Synthèse.

L'enseignant organise ensuite une synthèse à partir des éléments ci-dessous, en appui sur le tableau de numération en classes cette fois.

La lecture des grands nombres s’appuie sur une décomposition en millions, milliers et unités. Pour les milliers on dit « mille » et pour les unités on ne dit rien.

Par exemple : 403 012 068 peut se décomposer en 403 millions 12 milliers 68 unités. Ce nombre se lit « quatre-cent-trois-millions-douze-mille-soixante-huit », car "milliers" se dit "mille" quand on dit le nombre.

Classe des millions			Classe des milliers			Classe des unités simples
CM	DM	M	CM	DM	M	C	D	U
4	0	3	0	1	2	0	6	8

Quatre-cent-trois millions douze mille soixante-huit

Les groupements de trois rangs consécutifs s'appellent les "classes" (des unités simples, des milliers, des millions ...). Quand on écrit en chiffres, on écrit un espace entre les classes pour faciliter la lecture : 403 012 768.

On trouve ce genre d’exercices facilement dans les manuels ou sites internet.

Exemple :

1. Ecris ces nombres en lettres

30 256 : ………………………………………………………………………………………………………………………………

78 054 : …………………………………………………………………………………………..…………………………………

321 006 : …………………………………………………………………………………………..………………………………

820 000 : …………………………………………………………………………………………..………………………………

1 005 251 : …………………………………………………………………………………………………………………………

765 203 015 : ……………………………………………………………………………………………………………………

820 002 900 : …………………………………………………………………………………………..…………………………

2 : Ecris ces nombres en chiffres :

Cinq-cent-quatre-vingt-mille-cinq : …………………………………

Huit-cent-trente-deux-mille-neuf-cent-cinq : …………………………………

Trois-millions-quatre-cent-cinquante : …………………………………

Quatre-vingt-dix-huit-millions-quatre-cent-mille : …………………………………

Neuf-cent-soixante-seize-millions-huit-cent-mille-trois : …………………………………

Trois-cent-quarante-et-un-millions-deux-cent-trois : …………………………………

Le déroulement de cette phase est décrit dans ce document : .doc / .pdf

Matériel :

La fiche à destination des élèves est téléchargeable ici : .doc / .pdf

Consigne

Le nombre d’étoiles dans l’univers visible est à peu près du même ordre de grandeur que le nombre de grains de sables sur terre (d’après certains calculs).

L'enseignant écrit ce nombre en chiffres au tableau : « 100 000 000 000 000 000 000 000 » (23 zéros !)

Comment peut-on le dire ? Faites une proposition en écrivant sur votre ardoise.

Recherche, individuelle ou par deux.

Réponses possibles :

- des élèves cherchent à utiliser les mots connus (mille, millions, milliards) et à les combiner. Par exemple avec des milliards de milliards on obtient : « cent-mille-milliards de milliards », avec des millions de millions, on obtient : « cent-mille-millions de millions de millions ».

- d’autres cherchent les noms des grandes unités suivantes en s’appuyant sur leurs connaissances et sur les préfixes « bi » et « tri » devant « illions » et « illiards ». Exemple : « cent-trilliards » ou « cent-mille-trillions ».

- d’autres enfin proposent des billiards ou trilliards ou … car ils savent que ce sont des très grands nombres mais sans contrôle en lien avec le nombre de chiffres.

Toutes ces propositions sont correctes : « cent-mille-milliards de milliards », « cent-trilliards », « cent-mille-trillions », « cent-mille-millions de millions de millions ».

Mise en commun et synthèse, collectif

L’enseignant recueille plusieurs propositions (justes et erronées) et les fait valider aux élèves. Il commence par les propositions n’utilisant que les mots mille, millions et milliard afin de pouvoir s’appuyer sur les connaissances des élèves.

Pour mettre en évidence la régularité du système, l’enseignant s’appuie sur une extension du tableau de numération qu’il trace au tableau (en classes seulement) ou bien fait apparaître le nom de chaque classe au-dessus des 000.

Une fois que tout le monde est d’accord sur plusieurs désignations, l’enseignant explique qu’en France, officiellement on dit ce nombre « cent-mille-trillions ». Mais « cent-trilliards » est aussi accepté. En appui sur le tableau de numération étendu (tracé au tableau), il montre que le principe des classes s’étend donc aux grands nombres en utilisant les suffixes bi, tri, quadri, quinti, sexti, …

Enfin pour conclure l’enseignant indique aux élèves que pour travailler avec des grands nombres comme celui-ci en fait on utilise de nouvelles notations avec les puissances, qu’ils étudieront seulement en classe de quatrième. Il est alors possible de montrer un extrait de la vidéo suivante en guise d’approfondissement : https://www.youtube.com/watch?v=oqMYAVV-hsA (jusqu’à 5’10)

Compléments pour l’enseignant sur la lecture des très grands nombres :

https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89chelles_longue_et_courte

https://fr.wikipedia.org/wiki/Noms_des_grands_nombres