Numération et calcul posé
Il est bien admis que la numération intervient dans le calcul posé, ne serait-ce par l’alignement vertical des chiffres de même valeur dans les différentes techniques. C’est alors l’aspect positionnel qui est en jeu : les unités s’écrivent au premier rang (à partir de la droite), les dizaines au deuxième rang, etc.
Mais l’aspect décimal est davantage caché (encore une fois) : il intervient dans la retenue de l’addition posée, mais qu’en est-il pour les autres techniques opératoires ? Nous expliquons ce lien entre les différentes techniques et l’aspect décimal de la numération dans les compléments ci-dessous.
Pour illustrer le travail nécessaire à faire avec les élèves sur la numération en lien avec la découverte d’une technique opératoire, nous proposons une situation de découverte de la soustraction posée (la technique choisie est la technique anglo-saxonne). On pourra alors noter l'importance du travail préparatoire sur la numération. La technique opératoire apparaît alors comme un moyen de disposer autrement les calculs (plus économique) que l'on faisait sur les unités de numération mais s'appuyant sur les mêmes propriétés.
Propositions pour la classe : une technique de soustraction posée
Savoir-faire : savoir calculer une soustraction posée.
Savoirs : Les principes de la numération.
Description : Comment enlever 5 centaines à une collection de 2 milliers et 3 centaines ? Par un échange d’un millier en 10 centaines afin d’obtenir 13 centaines (desquelles on peut alors soustraire 5 centaines). C’est ce principe qui est au cœur de la technique découverte ici.
Compléments : comment interviennent les savoirs de la numération (en particulier l'aspect décimal) dans les techniques de calcul posé usuelles ?
Une bonne compréhension de la numération est un point d’appui pour d’autres notions mathématiques de l’école, en particulier pour la compréhension du fonctionnement des techniques opératoires françaises usuelles de l’addition, la soustraction, la multiplication et de la division.
| L'addition posée |
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Quand on ajoute 345 à 582 en colonnes on obtient 12 dizaines qu’il faut ensuite convertir en 1 centaine et 2 dizaines. C’est donc la relation 10 dizaines = 1 centaine qui est ici en jeu (aspect décimal) mais aussi la position occupée par les centaines : le 3ème rang (aspect position). L'aspect décimal permet donc de justifier la retenue (comme illustré ci-dessous avec un matériel de numération) et l'aspect position permet de savoir quels unités sont ajoutées et de justifier l'alignement des chiffres en colonnes. |
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Avec le matériel :
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On obtient alors :
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Lien avec l'addition en ligne
D’ailleurs, une bonne connaissance des deux aspects de la numération décimale suffit pour calculer des sommes et des différentes en ligne (sans poser l’opération) : en effet 583 + 345 = (5 centaines + 8 dizaines + 3 unités) + (3 centaines + 4 dizaines + 5 unités) = 8 centaines + 12 dizaines + 8 unités = 9 centaines + 2 dizaines + 8 unités = 928. Cela est bien illustré avec le dessin ci-dessus.
Finalement, l’intérêt de la technique usuelle en colonne est qu’elle permet d’économiser des écritures ou d’éviter des ratures, mais ces deux techniques (posée ou en ligne) reposent sur le même principe.
| La soustraction posée |
Exemple : 753-85
Première technique : technique par emprunt.
Avec le matériel :
Comme on ne peut pas soustraire 5 cubes unités à 3 cubes unités, on échange 1 barre de 10 cubes contre 10 cubes unités.
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On poursuit ainsi l'algorithme ...
Deuxième technique : technique usuelle
Avec le matériel :
Comme on ne peut pas soustraire 5 cubes unités à 3 cubes unités, on ajoute 10 cubes unités à la collection du haut, mais pour ne pas changer la différence on ajoute aussi 10 cubes à la collection du bas mais cette fois groupés en une barre de 10 cubes.
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On poursuit ainsi l'algorithme ...
NB : Nous nous appuyons ici sur quelques extrait du document d'accompagnement des programmes de 2002 : le calcul posé.
| La multiplication posée |
Multiplication par un nombre Ă un chiffre
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Exemple 543 × 6. C'est l'aspect décimal qui permet également de comprendre la signification des retenues. Dans l’exemple ci-contre, pour le cas de la multiplication par un nombre à 1 chiffre, on utilise une décomposition de 543 en 5 centaines + 4 dizaines + 3 unités et on multiplie par 6 chacun des trois termes. Cela fait alors intervenir les relations entre les unités au niveau des retenues comme on le voit dans les explications des étapes qui sont indiquées. |
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Avec le matériel :
6 fois 3 cubes unités c'est 18 cubes unités soit 1 barre de 10 cubes et 8 cubes isolés.
Etc.
Multiplication par 10, 100, 1000 ...
Les deux aspects de la numération sont également en jeu pour justifier la règle de multiplication par 10, 100, … (la « règle des zéros »).
Exemple : 12 Ă— 100
12 × 100 = 3200 pourrait être décrit comme : « on ajoute les deux zéros de 100 à droite de 12 », mais cela relève alors plus d’une recette de cuisine que de mathématiques !
Pourquoi 12 × 100 s’écrit-il 32 avec deux zéros derrière ?
En fait 12 × 100 c’est 12 centaines. Mais alors pourquoi 12 centaines s’écrit-il 12 avec deux zéros derrière ?
Il faut repasser par le fait que 12 centaines c’est 1 millier et 2 centaines (car 10 centaines = 1 millier, c’est l’aspect décimal), cela s’écrit donc 1200 (car 1 millier et 2 centaines c’est un 1 au rang des milliers et un 2 au rang des centaines, c’est l’aspect position).
Avec le matériel :
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12 centaines de cubes c'est 1 millier de cubes de 2 centaines de cubes, soit 1200 cubes.
Cela intervient aussi dans la technique de la multiplication posée, mais cette fois dans le cas de la multiplication par un nombre à plusieurs chiffres.
Multiplication par un nombre Ă plusieurs chiffres
Exemple 543 Ă— 26.
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On utilise une décomposition de 26 en 2 dizaines + 6 unités. 543 × 26 = 543 × (2 dizaines + 6 unités) = 543 × (2 dizaines) + 543 × (6 unités) = (543 × 2) dizaines + (543 × 6) unités. On retrouve donc deux multiplications par des nombres à 1 chiffre, pour lesquelles on va utiliser la technique posée par un nombre à un chiffre, puis ajouter les deux résultats. Cependant comme la première multiplication donne un nombre de dizaines, nous écrirons un 0 à droite de se nombre pour le convertir en unités. L'aspect décimal intervient également dans la gestion des retenues pour l'addition finale. |
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On retrouve ici la même justification que pour la règle de multiplication par 10, 100 …
| La division posée |
Exemple
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Pour la division posée : cela nous permet de comprendre les différentes étapes de la division et en particulier de déterminer le nombre de chiffres du quotient. Exemple : 1234 divisé par 5 Nombre de chiffres du quotient Dans la division de 1 234 par 5, comme on commence par faire la division de 12 par 5, il faut savoir que le 12 de 1234 correspond à 12 centaines. Or dans 12 centaines il y a 5 fois 2 centaines et il reste 2 centaines. Le premier chiffre du quotient de la division est donc un 2 au rang des centaines. Le quotient de la division sera donc un nombre à 3 chiffres. On abaisse ... Ensuite on dit souvent « on abaisse » le 3. En effet, il faut maintenant diviser par 5 les 2 centaines qui restent : comme on ne peut pas, on va échanger ces 2 centaines contre 20 dizaines et les ajouter aux 3 dizaines de 1234, ce qui fait 23 dizaines à diviser par 5. Le fait d’abaisser le 3 permet de faire apparaître ces 23 dizaines. |
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Avec le matériel : Pour partager 12 centaines de cubes en 5 personnes (par exemple) il faut donner 2 centaines de cubes et il reste 2 centaines. On échange ces 2 centaines contre 20 dizaines :
Cela fait donc 23 dizaines Ă partager en 5. On poursuit ainsi l'algorithme ... |
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Dans 23 dizaines, il y a 5 fois 4 dizaines et il reste 3 dizaines. On échange ces 3 dizaines contre 30 unités. Il y a donc 34 unités à partager en 5 : cela fait 6 unités et il reste 4 unités. Donc 1234 = 5 x 246 + 4. Ecriture en ligne : En fait pour diviser 1234 par 5, on utilise une décomposition de 1234 en 12 centaines + 3 dizaines + 4 unités : 12 centaines = 5× 2 centaines + 2 centaines 2 centaines + 3 dizaines = 23 dizaines 23 dizaines = 5 × 4 dizaines + 3 dizaines 3 dizaines + 4 unités = 34 unités 34 unités = 5× 6 unités + 4 unités Finalement, 1234 unités = 5 × (2 centaines + 4 dizaines + 6 unités) + 4 unités = 5 × 246 unités + 4 unités. |
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Pour expliquer les étapes de l'algorithme aux élèves il peut être utile d'utiliser une "feuille de partage" (ERMEL, Cap Maths, éditions Hatier) :
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