Un exemple de matériel de numération : les bûchettes
Nous présentons ici le matériel que nous avons choisi d'utiliser dans notre séquence.
Utiliser le matériel pour dénombrer une grande collection
| Un constat : Une difficulté importante pour les élèves est liée au fait qu’ils utilisent les unités de la numération (milliers, centaines, …) uniquement comme désignant un rang dans l’écriture du nombre. | ||
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Par exemple le mot "centaine" devrait évoquer chez les élèves à la fois le troisième rang en partant de la droite dans l'écriture en chiffres, mais aussi un groupement de 100 unités et même de 10 dizaines. Or cela n'évoque en général que la première signification (rang). Intérêt de l'utilisation du matériel : l’utilisation d’un matériel permet de voir chaque unité comme un groupement d’unités inférieures, donc comme une quantité et pas seulement le nom d’un rang. Dénombrer une collection : il est essentiel que les élèves comprennent qu’il s’agit de groupements successifs par 10. Pour cela nous pensons qu’il est important que les élèves aient l’occasion de réaliser au moins une fois ces groupements, lors du dénombrement d’une grande collection. Cela permet un ancrage des relations entre unités (aspect décimal). |
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Utiliser le matériel pour des activités décontextualisées
Tout ce travail réalisé avec le matériel sera ensuite un point d’appui important pour les activités décontextualisées qui utilisent les unités de numération.
Exercice : 4 centaines + 10 dizaines = ?
Les élèves peuvent s’appuyer sur les groupements qu'ils ont effectués avec le matériel : 10 dizaines se groupent en 1 centaine, donc il y a 5 centaines en tout.
Pour les élèves en difficulté dans ce type d’activité, le retour au matériel peut permettre un rappel des relations entre unités.
Voici par exemple un enfant qui se contente de juxtaposer les chiffres les uns derrière les autres :
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L'enseignant peut alors ressortir le matériel des bûchettes. Les mots dizaines et centaines reprennent alors leur signification de groupements d'unités. Voir photo ci-contre : 4 centaines + 10 centaines avec le matériel. On peut alors montrer aux élèves les centaines (sachets de 100 bûchettes) et dizaines (paquets de 10 bûchettes) pour rappeler le groupement des 10 dizaines en 1 centaine.  |
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Les unités de numération (unités, dizaines, centaines, milliers)
Dans notre approche nous privilégions un travail avec les unités de numération plutôt qu'avec les puissances de 10 (1, 10, 100, 1000) contrairement à ce qui se fait généralement dans les manuels.
En effet, nous pensons que l’utilisation des décompositions en 1, 10, 100 et 1000 a tendance à rendre invisible l’aspect décimal de la numération en le remplaçant par des automatismes (« on ajoute un zéro à droite »).
Pour illustrer cela nous allons considérer un exercice de recomposition de nombre avec les deux types d'écritures :
| 3 milliers + 24 dizaines + 5 unités = ? | 3x1000 + 24x10 + 5 = ? |
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On commence par décomposer 24 dizaines : 24 dizaines = 20 dizaines + 4 dizaines = 2 centaines + 4 dizaines (aspect décimal) |
Pour recomposer il faut d'abord "calculer" 3x1000 + 24x10. On utilise la "règle des zéros" (mais le savoir qui justifie cette règle est invisible) : 3x1000 = 3000 et 24x10 = 240 |
| Dans ce cas on utilise les savoirs de la numération. |
Dans ce cas on fait du calcul (règle des zéros, règles d'addition). Conséquence : Les savoirs de la numération sont invisibles quand on utilise les puissances de 10 (alors qu'ils justifient pourtant toutes les étapes). |
Exemples : "la règle des zéros"
Cette règle consiste à énoncer que pour multiplier par 10 il faut placer un zéro à droite du nombre, par 100 deux zéros à droite, etc.
Mais pourquoi 24 x 10 = 240 ?
24 x 10 c'est 24 dizaines. Or 20 dizaines c'est 2 centaines (car 10 dizaines = 1 centaine). Donc 24 dizaines = 2 centaines + 4 dizaines, ce qui donne 240 unités.
La règle des zéros s'appuie donc sur les deux aspects de la numération. Mais pour le faire apparaître il est nécessaire de repasser par les unités de numération.
Liens entre les deux types d'écritures : unités/puissances de 10
Il faut prévoir des activités qui permettent de faire le lien entre ces deux types de décompositions. La monnaie est un contexte favorable pour l’utilisation des décompositions en 1, 10, 100 et 1000.
Le tableau de numération
Le tableau de numération permet de matérialiser l'association entre les rangs de l'écriture chiffrée et les unités de la numération. Cependant ce n'est pas le seul moyen de le faire : cela peut aussi se faire par les mots : "les milliers s'écrivent au 4ème rang à partir de la droite, les centaines au 3ème rang, etc.".
Nous préconisons une utilisation raisonnée du tableau : c'est à dire accompagnée d'un travail d'explicitation, de formulation des techniques associées, comme avec l'exemple ci-dessus.
Un autre exemple peut-être donné par la recherche de différentes décompositions d'un nombre (partie "commander une collection") : le tableau peut permettre de faciliter la technique de lecture directe des décompositions (3164 = 31 centaines + 64 unités par exemple) mais nous viserons une formulation de ces techniques et leur justification en appui sur les relations entre unités (voir ci-dessous).
Il est également important que les élèves connaissent d'autres techniques leur permettant de contrôler leur utilisation du tableau : c'est alors les conversions entre unités qui peuvent être un point d'appui. Par exemple en utilisant le tableau un élève décompose 3164 en 31 centaines + 6 dizaines + 4 unités. En convertissant 31 centaines en 3M + 1C il obtient 3M + 1C + 6D + 4U, soit 3164, ce qui est bien le nombre de départ.
Exemple de synthèse en appui sur le tableau de numération, après formulation des techniques correspondantes avec des mots (cf synthèse de la situation "jeu des commandes") :
Différentes décompositions du nombre 3148 :
