Un constat de départ

Les évaluations nationales 2005 « montrent qu’au moins 90 % des élèves, en éducation prioritaire comme hors éducation prioritaire, savent écrire un nombre entier inférieur à 1000 à leur entrée au CE2. Ils sont tout aussi nombreux, à leur arrivée en sixième à savoir le faire pour un nombre entier inférieur à 10 000. Mais ce taux chute en moyenne d’environ 20 points dès qu’on dépasse 10 000, et de 30 points pour les élèves d’éducation prioritaire comme le montrent les items 52, 53 et 54 des ÉN 2005 à 2008. Autrement dit, un quart des élèves (respectivement un tiers) arrivant en sixième hors éducation prioritaire (respectivement en éducation prioritaire) ne savent pas écrire un "grand nombre" » (Chesné & Fisher 2015, conférence de consensus sur la numération, CNESCO)

Renforcer les connaissances de la numération et préparer l’apprentissage des décimaux

Le travail sur les grands nombres est d’une part une occasion de comprendre que les principes de la numération écrite des nombres jusqu’à 9999 s’étendent aux nombres plus grands (10 unités d’un certain ordre sont égales à une unité de l’ordre supérieur et on ajoute un rang supplémentaire dans l’écriture chiffrée vers la gauche). Ce même principe sera étendu vers la droite pour les nombres décimaux. D’autre part, le travail sur les grands nombres est aussi l’occasion de revenir sur les connaissances de numération des petits nombres et d’en assurer un renforcement. Pour mettre en évidence cette extension de la numération nous choisissons de partir d’une situation de dénombrement d’une très grande collection organisée par groupements successifs par dix.

Un enjeu essentiel : le double point de vue unités de base 10 (rangs)/unités de base 1000 (classes)

Deux types de relations sont donc en jeu pour les grands nombres.

Relations entre unités de base 10 : prolongement des relations des nombres plus petits. Par exemple, un million est égal à dix centaines de mille. Cela peut être mis en évidence avec ce tableau, prolongement du tableau de numération des petits nombres :

Relations entre unités de base 1000. Par exemple, un million est égal à mille milliers. Cet aspect est mis en évidence dans ce tableau de numération en classes :

Le tableau de numération usuel pour les grands nombres résume ces deux aspects en mettant en relation les rangs (relations de base 10) et les classes (relations de base 1000) :

Dans la séquence proposée, on privilégiera ces deux types de relations : on ne fixe pas l’objectif d’apprendre les relations entre dizaines de mille et centaines par exemple.

Deux décompositions de référence.

Un même nombre peut être décomposé en unités de base 10 (4 centaines de millions, 3 millions, 1 dizaine de milliers, …) ou de base 1000 (403 millions, 12 milliers, 68 unités).

D’autres décompositions sont possibles (403 012 milliers et 68 unités ou 403 millions et 12068 unités, …) mais elles ne sont pas l’enjeu essentiel du travail sur les grands nombres (elles peuvent être proposées aux élèves les plus rapides).

La décomposition en unités de base 10 est importante pour comprendre l’extension du fonctionnement de l’écriture en chiffres aux grands nombres. C’est ce type de décomposition qui sera aussi utilisé pour les décimaux.

La décomposition en classes est importante pour comprendre le fonctionnement de la lecture des grands nombres. C’est pourquoi nous proposons de faire un jeu de commandes en unités, milliers et millions pour introduire la lecture et l’écriture des grands nombres.

L’écriture de grands nombres pour lesquels on n’entend pas les zéros

La compréhension de l’écriture des grands nombres passe prend appui sur les deux types de décompositions précédentes. L’écriture d’espaces entre les classes n’est qu’une convention permettant de faciliter la lecture des nombres.

Les principales difficultés des élèves pour écrire les nombres en chiffres concernent l’écriture des 0 qui ne s’entendant pas. Ce sont donc ces cas qui seront travaillés particulièrement. Par exemple « trois-millions-huit-mille-cinquante-quatre » pourra être écrit « 3 8 54 » ou encore « 3 800 054 », etc.

Les deux règles « écriture de 3 chiffres par classe » et « dire million après le premier espace et mille après le deuxième » peuvent permettre d’obtenir une lecture correcte mais ne suffisent pas pour une compréhension des propriétés mathématiques en jeu. Ce n’est pas l’espace qui doit être le seul marqueur d’une classe. Il faut que l’élève comprenne que pour avoir « trois millions » il faut que le 3 se trouve au rang des millions, donc qu’il y ait 6 chiffres à sa droite (ou qu’il soit situé au 7^ème rang à partir de la droite, ou encore qu’il y ait 2 tranches de 3 chiffres).

Les aides proposées s’appuieront donc sur la décomposition des nombres proposés par les élèves : en unités (3 milliers 8 centaines 5 dizaines et 4 unités) ou en classes (3 milliers 854 unités) éventuellement avec le tableau de numération.

La lecture des nombres obtenus par les élèves peut aussi leur permettre de prendre conscience de leur erreur (« trois-mille-huit-cent-cinquante-quatre » pour le cas précédent). On essaiera de favoriser cet autocontrôle chez les élèves.

L’appui sur la droite graduée

Les activités de placement de nombres sur une demi-droite graduée permettent de renforcer les connaissances des relations entre unités à condition de laisser les élèves déterminer la valeur d’une sous-graduation ou bien de faire un placement approché entre deux graduations données. Les relations entre unités sont mobilisées pour construire un pas de graduation dix fois plus petit que le pas de graduation initial.

L’appui sur le calcul mental

L’appui sur les connaissances des relations entre unités construites pour les petits nombres peut permettre de mieux comprendre des relations entre unités pour les grands nombres, notamment pour les unités relevant d’une même classe car on est ramené au cas des petits nombres. La lecture favorise ces relations : lire 32 000 « trente-deux-mille » s’appuie sur la relation entre dizaines de mille et milliers (et donc entre dizaines et unités) : 3 dizaines de milliers = 30 milliers.

Même si notre façon de dire les grands nombres met en évidence les classes (trois-millions-huit-mille-cinquante-quatre), il faut aussi apprendre les relations entre ces classes et pour cela il ne suffit pas d’apprendre à lire et écrire les nombres.

Certaines activités de calcul mental peuvent aussi permettre de travailler les relations entre classes. Les relations entre certaines unités de base 10 apparaissent plus complexes, notamment pour le passage des classes. Par exemple la relation entre centaine de mille et million. Elles seront particulièrement travaillées dans les activités d calcul mental proposées.

Le fait de calculer avec des nombres que l’on dit et qui ne sont pas écrits en chiffres devrait amener les élèves à mobiliser successivement des relations entre unités (de base 10 et 1000). Par exemple pour calculer « dix fois deux-cent-mille » il est visé de s’appuyer sur la relation entre centaine de mille et million, relation qui n’apparait pas explicitement dans notre façon de dire ces nombres.

Ce travail peut être prolongé par un travail sur les ordres de grandeurs.